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Wie viel Last kommt an jedem Auflager an? Für eine Antwort brauchst du zuerst ein passendes statisches Modell. Dieser Einstieg richtet sich an angehende Bautechniker, GaLaBau- und Maurer-Auszubildende sowie interessierte Heimwerker. Er zeigt die äußeren Reaktionen einfacher ebener Systeme. Er bestimmt weder einen sicheren Balkenquerschnitt noch eine zulässige Spannweite.
1. Bauteil freischneiden
Beim Freischneiden betrachtest du ein einzelnes Bauteil für sich. Seine Umgebung wird gedanklich entfernt und durch die Kräfte und Momente ersetzt, die sie auf das Bauteil ausübt. Zeichne alle Lasten, Maße, Lagerreaktionen und ein Achsensystem ein. Das Freikörperbild ist der Ausgangspunkt der Rechnung. Ulrich Rapp, Gewerbeschule Lörrach: Freimachen, Kräftezerlegung und Gleichgewicht.
| Ideales Lager in der Ebene | Unbekannte Reaktionen | Was bleibt möglich? |
|---|---|---|
| Gelenkiges Festlager | Horizontalkraft Ax und Vertikalkraft Ay | Drehung; kein übertragenes Lagermoment. |
| Loslager auf horizontaler Führung | Eine Kraft normal zur Führung, hier By | Verschiebung entlang der Führung und Drehung. |
| Einspannung | Ax, Ay und Reaktionsmoment MA | Im idealisierten Modell keine Verschiebung und keine Drehung. |
Die wirkliche Verbindung muss zum gewählten Modell passen. Ein angeschraubter Balken ist nicht allein wegen der Schrauben biegesteif eingespannt. Kontaktauflager können außerdem gegebenenfalls nur Druck übertragen; eine rechnerische Zugreaktion verlangt ein dazu passendes Verankerungs- oder Kontaktmodell.
2. Vorzeichen und Gleichgewicht festlegen
Wir verwenden für die äußeren Größen am freigeschnittenen Körper: +x nach rechts, +y nach oben und ein positives Moment gegen den Uhrzeigersinn. Für einen ebenen Körper im statischen Gleichgewicht gelten ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0. Die drei Gleichungen sind unabhängig; ihre Lösungen müssen anschließend alle drei erfüllen.
Unbekannte Reaktionen darfst du zunächst in positiver Richtung annehmen. Ein negatives Ergebnis bedeutet dann die entgegengesetzte Richtung. Auch eine bekannte Last bekommt ihr Vorzeichen aus dem Achsensystem: Eine nach unten wirkende Kraft hat hier eine negative y-Komponente. Sie wird nicht dadurch positiv, dass sie eine „Last“ ist.
Ein Moment ist Kraft mal senkrechter Abstand ihrer Wirkungslinie zum Bezugspunkt. In Komponenten gilt in unserer Ebene M = x·Fy − y·Fx. Kraft in kN und Abstand in m ergeben kN·m. Wähle den Bezugspunkt geschickt: Reaktionen, deren Wirkungslinie durch ihn läuft, haben dort keinen Hebelarm.
3. Schräge Kraft zerlegen
Passend zur Rechenhilfe messen wir α von der positiven Horizontalen im Uhrzeigersinn: 0° zeigt nach rechts, 90° nach unten. Für den positiven Kraftbetrag F gilt Fx = F·cos α und Fy = −F·sin α. Bei 30° unter der positiven Horizontalen und F = 10 kN folgen Fx ≈ +8,66 kN und Fy = −5,00 kN. Eine Winkeldefinition gegen den Uhrzeigersinn führt zu einer anderen Vorzeichenform der Zerlegung; Zeichnung und Definition müssen zusammenpassen. Am Rechner Grad und Bogenmaß unterscheiden.
Lernbeispiel A: Einfeldträger mit Einzellast
Annahmen: idealer gerader Balken, A als gelenkiges Festlager, B als horizontales Loslager; Abstand L = 4,00 m. Eine vertikale Einzellast F = 10,00 kN greift 1,00 m rechts von A an. Weitere Lasten und Eigengewicht sind in diesem Lernmodell bewusst nicht angesetzt.
- Moment um A: +By·4,00 m − 10,00 kN·1,00 m = 0. Daraus By = +2,50 kN.
- Vertikale Kräfte: Ay + 2,50 kN − 10,00 kN = 0. Daraus Ay = +7,50 kN.
- Horizontale Kräfte: Ax = 0, weil hier keine horizontale äußere Kraft wirkt.
- Kontrolle um B: −7,50 kN·4,00 m + 10,00 kN·3,00 m = 0. Beide Reaktionen wirken nach oben; ihre Summe ist 10,00 kN.
Die näher an der Last liegende Stütze nimmt in diesem System den größeren Anteil auf. Auf das darunterliegende Bauteil wirken die Reaktionen nach dem Gegenwirkungsprinzip entgegengesetzt: am Anschluss A also 7,50 kN nach unten. Lehrübungen unterscheiden bewusst Auflagerreaktionen und innere Schnittgrößen. Universität Siegen: Aufgabensammlung Balken und Rahmen.
Lernbeispiel B: Kragarm und Einspannmoment
Annahmen: einseitig ideal eingespannter Kragarm, Länge L = 2,00 m, Einzellast F = 10,00 kN am freien Ende nach unten; weitere Lasten fehlen. Es folgt Ay − 10,00 kN = 0, also Ay = +10,00 kN. Aus MA − 10,00 kN·2,00 m = 0 folgt MA = +20,00 kN·m, als äußeres Reaktionsmoment gegen den Uhrzeigersinn. Ax = 0.
Warum steht in Momentenlinien oft −20 kN·m? Das innere Biegemoment wird mit einer eigenen Schnittgrößenkonvention beschrieben. Wenn positive Biegung Zug an der Balkenunterseite bedeutet, gilt für diesen Kragarm M(x) = −F·(L − x), mit x ab Einspannung. Am Einspannquerschnitt ist das innere Moment daher −20,00 kN·m. Reaktionsmoment und inneres Moment sind hier betragsgleich, aber keine austauschbaren Vorzeichenangaben.
Werkzeuge und nächster Prüfschritt
- Unterlagen: Maßskizze oder freigegebener Plan, Lastliste mit Angriffspunkten, Angaben zu den tatsächlichen Anschlüssen.
- Hilfsmittel: Papier, Lineal, Taschenrechner im passenden Winkelmodus; Maßband/Laser für den Bestand. Fotos helfen bei der Dokumentation, beweisen aber keinen Lastabtrag.
- Plausibilität: Einheiten und Pfeilrichtungen prüfen, Summe der Reaktionen kontrollieren, eine weitere Momentenbilanz bilden.
- Grenze: Gleichgewicht allein prüft weder Materialfestigkeit, Durchbiegung, Knicken/Kippen, Anschlussmittel, Fundament noch Baugrund. Mehrfeld- oder statisch unbestimmte Systeme brauchen weitere Beziehungen. Auch drei Unbekannte sind ohne geometrisch stabile Lagerung noch kein Beweis der Lösbarkeit.
Quellen und weiterführende Themen
- Ulrich Rapp, Gewerbeschule Lörrach: Freimachen, Kräftezerlegung und Gleichgewicht
- Universität Siegen: Aufgabensammlung Balken und Rahmen
- Hochschule Offenburg: Lehrübersicht Technische Mechanik 1
Quellen abgerufen am 26. Oktober 2026. Lehrquellen erklären die Mechanik; sie ersetzen keine aktuellen Bemessungsnormen mit nationalen Anhängen. Die Zahlenbeispiele und Skizzen dieses Artikels sind eigene Lernmodelle. Weiter: Holzbalken und Querschnitte · Bauteile und Lasten · Carport planen · Projektübersicht · Rechenhilfen.
